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형식논리학(propositional logic)을 배워보자 - 추론법칙 오늘은 저번까지 알아봤던 동치 법칙 이외에 어떤 추론 법칙이 있는지 알아보도록 하겠습니다:) 먼저, 추론 법칙이 무엇인지 간단하게 복습해볼게요. 추론 법칙(inference rule)이란, 논리식으로부터 다른 논리식을 이끌어내는 규칙입니다. 논리학에서는 어떤 논리를 증명할 때 추론 법칙을 이용하여 논리를 증명합니다. 그러면 본격적으로 추론 법칙을 알아봅시다. 처음으로 알아볼 추론 법칙은 연접 법칙(conjunction)입니다. 형태가 특이하죠? 위 식은 P, Q가 각각 참이면, P ∧ Q도 참이라는 뜻입니다. 앞으로 나올 식들 중 몇몇도 위와 같은 형태를 하고 있습니다. 연접 법칙의 예를 들어볼까요? 만약 '나는 우유를 산다'와 '나는 아보카도를 산다'가 모두 참이라면, '나는 우유와 아보카도를 산다'라..
형식논리학(propositional logic)을 배워보자 - 동치법칙(3) 오늘도 동치법칙에 대해 살펴보도록 합시다:) 시작하기 전에, 몇가지 약어를 정의할거예요. 바로 T와 F입니다. T는 항진명제, 즉 항상 참인 명제를 나타냅니다. F는 모순명제, 즉 항상 거짓인 명제를 나타냅니다. 그럼 본격적으로 동치법칙을 살펴봅시다. 처음으로 살펴볼 법칙은 항등 법칙(identity law)입니다. P ∧ T ⇔ P P ∨ F ⇔ P 명제 P ∧ T는 P와 T 모두 참이어야 참인 명제입니다. 그런데 T가 항상 참인 항진명제이므로 P의 진리값에 따라서만 명제의 참과 거짓이 결정됩니다. 명제 P ∨ F도 마찬가지로, P 또는 F 둘 중 하나가 참이어야 참인 명제인데, F는 항상 거짓인 모순명제이므로 P의 진리값에 따라서만 명제의 진리값이 결정되죠. 다음으로, 지배 법칙(domination ..
형식논리학(propositional logic)을 배워보자 - 동치법칙(2) 동치법칙(equivalence rule)에 대해 이어서 알아봅시다:) 먼저 알아볼 법칙은 함축(implication) 법칙(또는 조건 법칙)입니다. 식으로는 다음과 같습니다. (P ⇒ Q) ⇔ ￢P ∨ Q 이 법칙은 진리표를 통해 확인해봅시다. P Q P ⇒ Q ￢P ￢P ∨ Q T T T F T T F F F F F T T T T F F T T T 다음과 같이 P ⇒ Q와 ￢P ∨ Q 두 명제가 동치 관계임을 알 수 있어요. '내가 마트에 간다면 아보카도를 살 것이다' 라는 명제는 '나는 마트에 가지 않거나, 아보카도를 살 것이다' 와 같은 명제라는 것이죠. 다음으로 알아볼 법칙은 드 모르간의 법칙(De Morgan's law)입니다. 식으로는 다음과 같습니다. ￢(P ∧ Q) ⇔ ￢P ∨￢Q ￢(P ..
형식논리학(propositional logic)을 배워보자 - 동치법칙(1) 오늘은 동치법칙에 대해 알아볼까요? 먼저 복습을 해봅시다! 동치(logical equivalence)란 두 명제가 논리적으로 동일하다는 것을 의미합니다. 자세한 내용은 [형식논리학을 배워보자 - 동치와 역/대우] 편을 참고해주세요:) 오늘 다룰 내용은 동치법칙입니다. 동치법칙(equivalence rule)이란, 추론 법칙의 한 형태로, 제시된 두 상태가 동치임을 이용하는 추론 법칙입니다. 여기서 추론 법칙(inference rule)이란 한 논리식으로부터 다른 논리식을 이끌어내는 규칙으로, 논리학에서 논리를 증명할 때 사용하는 법칙입니다. 동치법칙에는 여러 종류의 법칙이 있습니다. 그 중 몇가지를 지금부터 살펴볼까요? 첫번째로, 이중 부정(double negation) 법칙입니다. 식으로는 다음과 같습..
형식논리학(propositional logic)을 배워보자 - 항진명제(tautology)란? 오늘은 항진명제와 모순명제, 일부진명제, 그리고 충족 가능성에 대한 내용을 다뤄보겠습니다! 항진명제(tautology, 토톨로지)란, 모든 경우에 대해 항상 참인 명제를 말해요. 즉, 어떤 명제가 조건의 진리값에 상관없이 항상 참이라면, 그 명제는 항진명제인 것이죠. 항진명제의 대표적인 예 중 하나로는 P∨￢P가 있습니다. P ￢P P∨￢P T F T F T T 위의 진리표를 보면 알 수 있듯이, 명제 P∨￢P는 조건 P가 참이든 거짓이든 상관없이 항상 참인 항진명제입니다. 예를 들어보면, P가 '나는 아보카도이다.'라면, 명제 P∨￢P는 '나는 아보카도이거나, 아보카도가 아니다.'가 됩니다. 너무나 당연하게도 참일수밖에 없죠? 이번에는 모순명제를 살펴봅시다. 모순명제(contradiction)란, 모든..
형식논리학(propositional logic)을 배워보자 - 동치와 역/대우 오늘은 동치에 대해 알아보겠습니다! 동치(logical equivalence)란, 두 명제가 논리적으로 동일하다는 것을 의미합니다. 다른 말로, 한 명제가 참일 때 다른 한 명제도 참이고, 한 명제가 거짓일 때 다른 한 명제도 거짓임을 뜻합니다. 어느 두 명제의 진리값의 모든 결과가 서로 같다면, 즉 두 명제의 진리표가 서로 같다면 두 명제는 동치관계입니다. 따라서 두 명제의 진리표를 비교해보면 두 명제가 서로 동치관계인지 아닌지 알 수 있죠. 예를 들어, P∧Q와 Q∧P는 동치관계입니다. P Q P∧Q Q∧P T T T T T F F F F T F F F F F F P∧Q와 Q∧P의 진리표가 일치하는 것을 볼 수 있죠? 따라서 두 명제는 논리적으로 동일하다고 할 수 있습니다. 즉 동치관계인 것이죠. 이..
형식논리학(propositional logic)을 배워보자 - 명제문자와 진리표 오늘은 형식논리학에서 명제를 어떻게 다루는지, 그리고 진리표가 무엇인지에 대해 알아보겠습니다:) 예전에 형식논리학은 기호논리학으로도 불린다고 했죠? 형식논리학에서는 명제와 명제 사이의 관계를 기호를 통해서 나타냅니다. 이 중 명제를 나타낼 때 사용하는 기호를 ‘명제 문자(propositional letter)’라고 합니다. 예를 들어볼까요? 밑의 명제들을 살펴봅시다. p: 나는 우유를 산다. q: 나는 아보카도를 산다. r: 나는 배고프다. 이때, 명제를 나타내기 위해 사용하는 문자 p, q, r 등이 명제 문자입니다. 자, 그러면 이제 명제들간의 관계를 나타내는 기호를 알아봅시다. ‘그리고(and)’는 ‘∧’ 기호를 사용하여 나타냅니다. ‘또는(or)’은 ‘∨’로 나타내고, ‘~가 아니다(not)’는 ..
형식논리학(propositional logic)을 배워보자 - 명제란? 오늘은 형식논리학에서 어떤 소재를 다루는지 알아볼까요? 수학에서는 수와 공간, 물리학에서는 힘과 운동 등을 다룬다면, 형식논리학에서는 ‘명제’를 주로 다룬다고 할 수 있어요. 그렇다면 명제란 무엇일까요? 명제(statement 또는 proposition)란, ‘참 또는 거짓을 객관적으로 검증할 수 있는 문장’을 말해요. 예를 들어볼까요? ‘해는 동쪽에서 뜬다’라는 문장은 항상 참인 명제에요. ‘1 더하기 1은 3이다’라는 문장은 항상 거짓인 명제이고요. ‘나는 대한민국 사람이다’라는 문장은 나의 국적에 따라 참과 거짓이 정해지는 문장입니다. 명제가 될 수 없는 문장에는 무엇이 있을까요? 일단, ‘선언문(declarative sentence)이 아닌 문장’은 명제가 될 수 없어요. 예를 들어 ‘오늘 점심으..

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