형식논리학(propositional logic)을 배워보자 - 명제란?

오늘은 형식논리학에서 어떤 소재를 다루는지 알아볼까요?

수학에서는 수와 공간, 물리학에서는 힘과 운동 등을 다룬다면, 형식논리학에서는 ‘명제’를 주로 다룬다고 할 수 있어요.

그렇다면 명제란 무엇일까요?

 

명제(statement 또는 proposition)란, ‘참 또는 거짓을 객관적으로 검증할 수 있는 문장’을 말해요.

예를 들어볼까요?

‘해는 동쪽에서 뜬다’라는 문장은 항상 참인 명제에요.

‘1 더하기 1은 3이다’라는 문장은 항상 거짓인 명제이고요.

‘나는 대한민국 사람이다’라는 문장은 나의 국적에 따라 참과 거짓이 정해지는 문장입니다.

 

명제가 될 수 없는 문장에는 무엇이 있을까요?

일단, ‘선언문(declarative sentence)이 아닌 문장’은 명제가 될 수 없어요.

예를 들어 ‘오늘 점심으로 뭘 먹을까?’, ‘저 꽃 참 예쁘다!’, ‘저쪽 창문 좀 닫아줘.’와 같은 문장들은 선언문이 아니기 때문에 명제가 될 수 없어요.

 

그러면 모든 선언문은 명제일까요?

그렇지 않습니다! 선언문이지만 명제가 아닌 문장은 크게 두 가지 유형이 있어요.

 

첫번째로 ‘불특정한 용어(unspecified term)가 포함된 문장’은 명제가 될 수 없어요.

예를 들어봅시다.

‘ x + 3 = 5 ‘라는 문장은 ‘x’의 값에 따라 참일수도, 거짓일수도 있는 문장이에요.

이때 ‘x’가 명확히 정의되지 않았기 때문에 이 문장은 명제라고 할 수 없어요.

‘곤지는 키가 크다’라는 문장 또한 ‘키가 크다’의 조건이 명확히 정의되지 않았기 때문에 명제라고 보기 힘들어요.

따라서 ‘곤지는 키가 170cm 이상이다’ 등의 객관적이고 구체적인 형식으로 바꿔주어야 명제라고 할 수 있어요.

 

명제가 아닌 선언문의 또 다른 유형을 봅시다!

두번째로는 ‘자기 자신을 지시하는(self-referential) 문장’, 특히 ‘자기모순적인 문장’이에요.

다음 문장을 볼까요?

 

‘이 문장은 거짓이다.’

 

위의 문장이 ‘참’이라고 가정해봅시다.

그러면 ‘이 문장은 거짓이다’라는 내용이 참이 됩니다. 즉 이 문장은 거짓이라는 것이죠.

뭔가 이상하죠? 이 문장이 참이라고 가정했더니 이 문장은 거짓이라는 결과가 나왔어요!

반대로 위의 문장이 ‘거짓’이라고 가정해볼까요?

그러면 ‘이 문장은 거짓이다’라는 내용이 거짓이 되고, 결과적으로 이 문장이 참이라는 결과가 나오게 됩니다.

따라서 위의 문장은 참, 거짓 둘 중 어느 하나로 가정해도 모순이 발생하는, 자기모순적인 문장이에요.

그래서 ‘이 문장은 거짓이다.’라는 문장은 명제라고 보기 힘들어요.

 

비슷하게 ‘이 문장은 참이다.’라는 문장 또한 자기 자신을 지시하고 있기 때문에 일반적으로 명제라고 보지 않아요.

 

(‘이 문장은 참이다.’라는 문장은 가정에 따라 참, 거짓 둘 모두 될 수 있는 문장이에요.

따라서 자기모순적이지는 않지만, 이전 경우와 마찬가지로 자기 자신을 지시하기 때문에 명제로 보지 않습니다.

지금까지는 예시로 단순한 경우만을 설명했지만, 다른 복잡한 형태의 문장의 경우 자기 자신을 지시할할 경우 논리적으로 상당히 복잡해지기 때문에 편의상 모든 ‘자기 자신을 지시하는 문장’을 명제로 보지 않는 경우가 많아요.

이에 대한 더 자세한 내용은 기회가 된다면 추후 다뤄보도록 할게요!)

 

오늘은 형식논리학에서 다루는 ‘명제’가 무엇인지에 대해서 다뤄봤어요.

다음에는 명제와 명제 사이의 관계를 어떤 방식으로 표기하는 지에 대해 알아보도록 하겠습니다!

오늘도 읽어주셔서 감사합니다:)