형식논리학(propositional logic)을 배워보자 - 동치와 역/대우

오늘은 동치에 대해 알아보겠습니다!

 

동치(logical equivalence)란, 두 명제가 논리적으로 동일하다는 것을 의미합니다.

다른 말로, 한 명제가 참일 때 다른 한 명제도 참이고, 한 명제가 거짓일 때 다른 한 명제도 거짓임을 뜻합니다.

 

어느 두 명제의 진리값의 모든 결과가 서로 같다면, 즉 두 명제의 진리표가 서로 같다면 두 명제는 동치관계입니다.

따라서 두 명제의 진리표를 비교해보면 두 명제가 서로 동치관계인지 아닌지 알 수 있죠.

 

예를 들어, P∧Q와 Q∧P는 동치관계입니다.

P	Q	P∧Q	Q∧P
T	T	T	T
T	F	F	F
F	T	F	F
F	F	F	F

P∧Q와 Q∧P의 진리표가 일치하는 것을 볼 수 있죠?

따라서 두 명제는 논리적으로 동일하다고 할 수 있습니다. 즉 동치관계인 것이죠.

 

이번에는 역과 대우에 대해 알아봅시다.

명제 P⇒Q에서 조건 P를 '가정', 조건 Q를 '결론'이라고 합니다.

한번 P와 Q의 자리를 바꿔봅시다.

그러면 Q⇒P라는 명제가 될겁니다.

이때 새로 만들어진 명제의 조건 Q가 '가정', 조건 P가 '결론'이 됩니다.

이렇게 기존의 명제의 가정과 결론을 서로 맞바꾼 명제를 '명제의 역(converse)'이라고 합니다.

 

이번엔, 명제 P⇒Q의 조건과 가정을 맞바꾼 뒤, 조건과 가정 모두 부정을 해봅시다.

그러면 ￢Q⇒￢P라는 명제가 만들어집니다.

이렇게 기존의 명제의 가정과 결론을 맞바꾼 뒤 둘 모두를 부정한 것을 '명제의 대우(contrapositive)'라고 합니다.

 

한번 예를 들어봅시다.

조건 P를 '나는 마트를 간다', 조건 Q를 '나는 아보카도를 산다' 라고 합시다.

이때 명제 P⇒Q는 '만약 내가 마트에 가면, 나는 아보카도를 산다' 가 됩니다.

이 명제의 역은 Q⇒P, 즉 '만약 내가 아보카도를 사면, 나는 마트에 간다' 가 됩니다.

또한 이 명제의 대우는 ￢Q⇒￢P, 즉 '만약 내가 아보카도를 사지 않는다면, 나는 마트에 가지 않는다.'가 되죠.

 

여기서 중요한 사실 한가지를 배울겁니다.

어떤 명제의 역은 원래의 명제와 달라지지만, 명제의 대우는 원래의 명제와 동치 관계입니다.

정말로 그런지 한번 진리표를 그려서 확인해봅시다.

 

P	Q	P⇒Q	Q⇒P
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	T	F
F	F	T	T

명제 P⇒Q와 그 역인 Q⇒P의 진리표가 서로 다르죠? 따라서 두 명제는 서로 다르다고 할 수 있어요.

 

P	Q	P⇒Q	￢P	￢Q	￢Q⇒￢P
T	T	T	F	F	T
T	F	F	F	T	F
F	T	T	T	F	T
F	F	T	T	T	T

명제 P⇒Q와 그 대우인 ￢Q⇒￢P의 진리표가 서로 같습니다. 따라서 두 명제는 서로 같아요!

 

일상생활에서 사용되는 대우의 예시를 가져와볼까요?

제가 입에 달고사는 '내가 또 실수하면 난 사람이 아니다' 라는 명제의 대우는 '내가 사람이라면 나는 또 실수하지 않는다' 에요.

이 두 명제는 동일한 뜻을 담고 있습니다.

따라서 원래의 명제와 그 대우는 동일하다, 즉 동치 관계다 라고 말할 수 있죠.

 

오늘은 동치와 역, 대우에 대해 알아보았습니다.

다음에는 항진명제(tautology)에 대한 내용으로 찾아올게요:)