형식논리학(propositional logic)을 배워보자 - 항진명제(tautology)란?

오늘은 항진명제와 모순명제, 일부진명제, 그리고 충족 가능성에 대한 내용을 다뤄보겠습니다!

 

항진명제(tautology, 토톨로지)란, 모든 경우에 대해 항상 참인 명제를 말해요.

즉, 어떤 명제가 조건의 진리값에 상관없이 항상 참이라면, 그 명제는 항진명제인 것이죠.

 

항진명제의 대표적인 예 중 하나로는 P∨￢P가 있습니다.

P	￢P	P∨￢P
T	F	T
F	T	T

위의 진리표를 보면 알 수 있듯이, 명제 P∨￢P는 조건 P가 참이든 거짓이든 상관없이 항상 참인 항진명제입니다.

예를 들어보면, P가 '나는 아보카도이다.'라면, 명제 P∨￢P는 '나는 아보카도이거나, 아보카도가 아니다.'가 됩니다.

너무나 당연하게도 참일수밖에 없죠?

 

이번에는 모순명제를 살펴봅시다.

모순명제(contradiction)란, 모든 경우에 대해 항상 거짓인 명제를 말합니다.

항진명제와 반대되는 개념이라고 생각하면 돼요.

항진명제의 부정은 모순명제이며, 마찬가지로 모순명제의 반대는 항진명제랍니다.

 

모순명제의 대표적인 예 중 하나로는 P∧￢P가 있습니다.

P	￢P	P∧￢P
T	F	F
F	T	F

마찬가지로 진리표를 보면, 명제 P∧￢P는 조건 P의 진리값에 상관없이 항상 거짓인 모순명제임을 알 수 있습니다.

또 예를 들어 P가 '나는 아보카도이다.'라고 하면, 명제 P∧￢P는 '나는 아보카도면서, 아보카도가 아니다.'가 됩니다.

이건 누가 들어도 말도 안되는 소리죠?

 

다음으로 살펴볼 것은 일부진명제입니다.

일부진명제(contingency)란, 항진명제도 모순명제도 아닌 명제를 말해요.

즉, 항상 참도 아니고 항상 거짓도 아닌, 어떤 경우에는 참이고 어떤 경우에는 거짓인 명제가 일부진명제입니다.

 

이제 충족 가능성에 대해 알아볼까요?

충족 가능성(Satisfiability)이란, 어떤 명제가 참이 되는 경우가 존재하는지에 대한 가능성입니다.

만약 어떤 명제가 참이 되는 경우가 한가지라도 존재한다면 그 명제는 충족 가능(satisfiable)한 명제입니다.

반대로 어떤 명제가 어떠한 경우에도 참이 되지 않는다면 그 명제는 충족 불가능(unsatisfiable)한 명제입니다.

즉, 충족 불가능한 명제는 모순명제와 같은 말입니다.

 

어떤 명제가 충족 가능한지 확인하기 위해서는 진리표를 그려서 참이 되는 경우가 존재하는지 확인하면 됩니다.

한가지라도 존재한다면 충족 가능하고, 참이 되는 경우가 없으면 충족 불가능한 것이겠죠.

 

지금까지 항진명제와 모순명제, 일부진명제, 그리고 충족 가능성에 대해 알아봤어요.

오늘도 읽어주셔서 감사합니다:)